Question

如圖，正方形ABCD中，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)（P點(diǎn)不與B、D重合），PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，連接EF，猜想AP與EF的關(guān)系并證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

AP⊥EF，AP=EF

【解析】

試題分析：

解：AP⊥EF，AP=EF

方法1：延長FP交AB于M

延長AP交EF于N

可證四邊形MFCB為矩形

得MF=BC

四邊形ABCD為正方形

得AB=BC

∴MF=AB

可證PM=BM

∴AM=PF

可證△AMP≌△FPE得AP=EF

得∠PFE=∠MAP

∵∠FPN=∠MPA

∴∠PNF=∠AMP=90°

∴AP⊥EF

方法2：連接PC交EF于O

證四邊形PFCE為矩形

得PC=EF

證△APD≌△CPD

得PC=AP

∴EF=AP

∵四邊形PFCE為矩形

可證OF=OC

得∠OFC=∠OCF

∵∠PFC=90°

∴∠PFO+∠OFC=90°

∴∠PFO+∠OCF=90°

∵△APD≌△CPD

∴∠DAP=∠DCP

∴∠PFO+∠DAP=90°

∵四邊形DANF內(nèi)角和為360°

即∠DAN+∠ADF+∠NFP+∠PFD+∠ANF=360°

可證∠ANF=90°

∴AP⊥EF于N

考點(diǎn)：全等三角形的應(yīng)用

點(diǎn)評(píng)：此類試題，線與線的關(guān)系有相等和垂直，相等可通過證明全等三角形對(duì)應(yīng)邊求得，垂直可通過證明全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，再進(jìn)行等量代換。