Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝6，MN在邊AB上運(yùn)動(dòng)，MN＝3，AP＝2，BQ＝5，PM+MN+NQ最小值是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，過(guò)點(diǎn)P′G⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)與點(diǎn)G，在P′G上截取P′M′=MN=3，連M′Q交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P′作P′N(xiāo)∥M′Q交AB于點(diǎn)N，此時(shí)PM+MN+NQ的值最小. 根據(jù)作法可得PM+MN+NQ= P′M ′+ QM ′，由此求得P′M ′、 QM ′的長(zhǎng)即可求解.

如圖，作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，過(guò)點(diǎn)P′G⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)與點(diǎn)G，在P′G上截取P′M′=MN=3，連M′Q交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P′作P′N(xiāo)∥M′Q交AB于點(diǎn)N，此時(shí)PM+MN+NQ的值最小.

∵P′N(xiāo)∥M′Q，P′M ′∥M N,

∴四邊形P′M ′MN為平行四邊形，

∴P′N(xiāo)= M ′M，P′M ′=MN=3，

由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得PN= P′N(xiāo)，AP=A P′=2,

∴PM+MN+NQ= P′M ′+ QM ′,

∵AB= P′G=3，P′M ′=3，AP′=GB=2,

∴GM ′= 3，GQ=7,

在Rt△GQM P′中，由勾股定理可得，QM ′=.

∴PM+MN+NQ= P′M ′+ QM ′=.

故答案為：.