Question

如圖所示，半圓的半徑為AB，C為半圓周上一點．
（1）若∠CAB=30°，BC=6，求圖中陰影部分的面積；
（2）若AB=2R，則C運動到何處時，陰影部分的面積最小，最小面積是多少？

Answer 1

分析：（1）陰影部分的面積即是半圓的面積-直角三角形的面積；
（2）要使陰影部分的面積最小，則需直角三角形的面積最大，即斜邊上的高最大，顯然是到弧的中點時即可．

解答：解：（1）∵∠CAB=30°，BC=6
∴AB=12
∴S_半圓=π×36÷2=18π
∵∠CAB=30°，BC=6
∴AC=

122-62

=6

3

∴S_△ABC=6

3

×6×

1

2

=18

3

∴S_陰影=S_半圓-S_△ABC=18π-18

3

；

（2）陰影部分的面積最小，則直角三角形的面積最大，
即斜邊上的高最大，
∴當(dāng)CA=CB時，S_最小值=

1

2

πR²-R²．

點評：注意：熟練運用銳角三角函數(shù)解直角三角形，求得各邊的長，根據(jù)直角三角形和圓的面積公式進(jìn)行計算．討論面積的最值注意進(jìn)行轉(zhuǎn)換為容易分析的圖形的面積．