Question

某建筑物的窗口如圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長（圖中所有黑線的長度和）為15m，當半圓的半徑為多少時，窗戶通過的光線最多？此時，窗戶的面積是多少（結果精確到0.01m）？

Answer 1

分析：先設圓半徑、矩形的寬和窗戶的面積，再根據給出的已知條件列出它們的函數關系式，根據函數關系式來求最大值．

解答：解：設半圓的半徑為xm，矩形的寬為ym，窗戶的面積為Sm²．
∵材料的總長為15m，
∴4y+7x+πx=15，
∴y=

1

4

(15-7x-πx)，
從而S=2x•

1

4

(15-7x-πx)+

1

2

πx2=-3.5x²+7.5x．
∵-3.5＜0，
∴S有最大值，
當x=-

7.5

2×(-3.5)

=

15

14

時，
S最大=

-(7.5)2

4×(-3.5)

≈4.02．
答：當半圓的半徑約為l.07m時，窗戶通過的光線最多，此時窗戶的面積約為4.02m²．

點評：本題主要考查二次函數在實際生活中的應用，其中涉及圓的周長、矩形周長的計算和求最值的問題．