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精英家教網某建筑物的窗口如圖所示,它的上半部是半圓,下半部是矩形,制造窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為15m,當半圓的半徑為多少時,窗戶通過的光線最多?此時,窗戶的面積是多少(結果精確到0.01m)?
分析:先設圓半徑、矩形的寬和窗戶的面積,再根據給出的已知條件列出它們的函數關系式,根據函數關系式來求最大值.
解答:精英家教網解:設半圓的半徑為xm,矩形的寬為ym,窗戶的面積為Sm2
∵材料的總長為15m,
∴4y+7x+πx=15,
y=
1
4
(15-7x-πx)

從而S=2x•
1
4
(15-7x-πx)+
1
2
πx2
=-3.5x2+7.5x.
∵-3.5<0,
∴S有最大值,
當x=-
7.5
2×(-3.5)
=
15
14
時,
S最大=
-(7.5)2
4×(-3.5)
≈4.02

答:當半圓的半徑約為l.07m時,窗戶通過的光線最多,此時窗戶的面積約為4.02m2
點評:本題主要考查二次函數在實際生活中的應用,其中涉及圓的周長、矩形周長的計算和求最值的問題.
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