Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠B=60°，BC=2AD，E、F分別為AB、BC的中點．
（1）求證：四邊形AFCD是矩形；
（2）求證：DE⊥EF．

Answer 1

【答案】分析：（1）由BC=2AD，F(xiàn)為BC的中點，即可得AD=CF，又由AD∥BC，即可證得四邊形AFCD是平行四邊形，又由BC⊥CD，即可證得四邊形AFCD是矩形；
（2）由四邊形AFCD是矩形，∠B=60°，即可求得∠BAF的度數(shù)，則可得∠BAD的度數(shù)，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，易證得△BEF是等邊三角形，△AED是等腰三角形，則可求得∠DEF的度數(shù)，即可證得DE⊥EF．
解答：證明：（1）∵F為BC的中點，
∴BF=CF=BC，
∵BC=2AD，
即AD=BC，
∴AD=CF，
∵AD∥BC，
∴四邊形AFCD是平行四邊形，
∵BC⊥CD，
∴∠C=90°，
∴?AFCD是矩形；

（2）∵四邊形AFCD是矩形，
∴∠AFB=∠FAD=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BAF=30°，
∴∠EAD=∠EAF+∠FAD=120°，
∵E是AB的中點，
∴BE=AE=EF=AB，
∴△BEF是等邊三角形，
∴∠BEF=60°，BE=BF=AE，
∵AD=BF，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠ADE==30°，
∴∠DEF=180°-∠AED-∠BEF=180°-30°-60°=90°．
∴DE⊥EF．
點評：此題考查了直角梯形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)以及等腰三角形與等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關(guān)鍵是抓住特殊圖形的性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．