Question

如圖，若正方形ABCD的四個頂點恰好分別在四條平行線l₁、l₂、l₃、l₄上，設這四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為h₁、h₂、h₃(h₁＞0，h₂＞0，h₃＞0)．

（1）求證：h₁＝h₃；

（2）現(xiàn)在平面直角坐標系內有四條直線l₁、l₂、l₃、x軸，且l₁∥l₂∥l₃∥x軸，若相鄰兩直線間的距離為1，2，1，點A（4，4）在l₁，能否在l₂、l₃、x軸上各找一點B、C、D，使以這四個點為頂點的四邊形為正方形，若能，請直接寫出B、C、D的坐標；若不能，請說明理由。

 

Answer 1

⑴證明過程見解析，⑵能，B（1,3），C（2,0），D（5,1）或B’（7,3），C’（6,0），D’（3,1）

解析:（1）過A點作AF⊥l₃分別交l₂、l₃于點E、F，過C點作CG⊥l₃交l₃于點G，

∵l₂∥l₃，∴∠2 =∠3，

∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，-------------------1分

在ΔABE和ΔCDG中，

-------------3分

∴△ABE≌△CDG，∴AE=CG，即=.-------------4分

        

 

（2）可以在l₁、l₂、l₃、l₄上找點B，C，D，使四邊形ABCD為正方形.

具體畫法：

1.在l₁上截取AE=1+2=3，過點E作l₁的垂線，交l₂于點B，交x軸于點F；

2.在x軸上截取FC=1

3.在l₁上截取AG=1，過G作l₁的垂線交l₃于點D，

4連接AB，BC，CD，DA則四邊形ABCD為正方形.

其中B（1,3），C（2,0），D（5,1）或B’（7,3），C’（6,0），D’（3,1）------7分

（1）過A點作AF⊥l₃分別交l₂、l₃于點E、F，過C點作CG⊥l₃交l₃于點G，求得△ABE≌△CDG，可證明，（2）可以在l₁、l₂、l₃、l₄上找點B，C，D，使四邊形ABCD為正方形