Question

如圖，頂點為A的拋物線y=a(x+2)²－4交x軸于點B（1，0），連接AB，過原點O作射線OM∥AB，過點A作AD∥x軸交OM于點D，點C為拋物線與x軸的另一個交點，連接CD．

（1）求拋物線的解析式、直線AB的解析式；

（2）若動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著射線OM運動，同時動點Q從點C出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段CO向點O運動，當(dāng)其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動．

問題一：當(dāng)t為何值時△OPQ為等腰三角形；

問題二：當(dāng)t為何值時，四邊形CDPQ的面積最��？并求此時PQ的長．

 

Answer 1

解：（1）∴y= (x+2)²－4，或y= x²+x－；y=x—.

（2）問題一：、、

問題二：將y=0代入y=x²+x－，得x²+x－=0，解得x=1或－5.

∴C（－5，0）.∴OC=5.

∵OM∥AB， AD∥x軸，∴四邊形ABOD是平行四邊形.

∴AD=OB=1.∴點D的坐標(biāo)是（－3，－4）.

∴S_△DOC=×5×4=10.

過點P作PN⊥BC，垂足為N.易證△OPN∽△BOH.

∴,即.∴PN=t.

∴四邊形CDPQ的面積S=S_△DOC－S_△OPQ=10－×(5－2t )×t=t²－2 t +10.

∴當(dāng)t=時，四邊形CDPQ的面積S最小.

此時，點P的坐標(biāo)是（－，－1），點Q的坐標(biāo)是（－，0），

∴PQ==.