Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．點(diǎn)E為底AD上一點(diǎn)，將△ABE沿直線BE折疊，點(diǎn)A落在梯形對(duì)角線BD上的G處，EG的延長(zhǎng)線交直線BC于點(diǎn)F．

（1）點(diǎn)E可以是AD的中點(diǎn)嗎？為什么？

（2）求證：△ABG∽△BFE；

（3）設(shè)AD=a，AB=b，BC=c

    ①當(dāng)四邊形EFCD為平行四邊形時(shí)，求a，b，c應(yīng)滿足的關(guān)系；

    ②在①的條件下，當(dāng)b=2時(shí)，a的值是唯一的，求∠C的度數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

（1）不可以，理由見解析（2）證明見解析（3）①a²+b²=ac②45°

【解析】解：（1）不可以。理由如下：

根據(jù)題意得：AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，∴Rt△EGD中，GE＜ED。

∴AE＜ED�！帱c(diǎn)E不可以是AD的中點(diǎn)。

（2）證明：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBF，

∵由折疊知△EAB≌△EGB，∴∠AEB=∠BEG�！唷螮BF=∠BEF。

∴FE=FB，∴△FEB為等腰三角形。

∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，∴∠ABG=∠EFB。

在等腰△ABG和△FEB中，

∠BAG=（180°﹣∠ABG）÷2，∠FBE=（180°﹣∠EFB）÷2，

∴∠BAG=∠FBE�！唷鰽BG∽△BFE。

（3）①∵四邊形EFCD為平行四邊形，∴EF∥DC。

     ∵由折疊知，∠DAB=∠EGB=90°，∴∠DAB=∠BDC=90°。

     又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC�！唷鰽BD∽△DCB。

∴。

∵AD=a，AB=b，BC=c，∴BD=

∴，即a²+b²=ac。

②由①和b=2得關(guān)于a的一元二次方程a²﹣ac+4=0，

由題意，a的值是唯一的，即方程有兩相等的實(shí)數(shù)根，

∴△=0，即c²﹣16=0。

∵c＞0，∴c=4。

∴由a²﹣4a+4=0，得a=2。

由①△ABD∽△DCB和a= b=2，得△ABD和△DCB都是等腰直角三角形，

∴∠C=45°。

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，再根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可得DE＞EG，從而判斷點(diǎn)E不可能是AD的中點(diǎn)。

（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AEB=∠EBF，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可以判定出∠AEB=∠BEG，然后得到∠EBF=∠BEF，從而判斷出△FEB為等腰三角形，再根據(jù)等角的余角相等求出∠ABG=∠EFB，然后根據(jù)等腰三角形的兩個(gè)底角相等求出∠BAG=∠FBE，然后根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似即可證明。

（3）①根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)度，再利用兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似得到△ABD和△DCB相似，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得解。

②把b=2代入a、b、c的關(guān)系式，根據(jù)a是唯一的，可以判定△=c²﹣16=0，然后求出c=4，再代入方程求出a=2，然后由①△ABD∽△DCB和a= b=2，得△ABD和△DCB都是等腰直角三角形，得出∠C=45°