Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知A（3，0），且M（1，﹣ ）是拋物線上另一點(diǎn)．

（1）求a、b的值；
（2）連結(jié)AC，設(shè)點(diǎn)P是y軸上任一點(diǎn)，若以P、A、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)N是x軸正半軸上且在拋物線內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)（不與O、A重合），過點(diǎn)N作NH∥AC交拋物線的對(duì)稱軸于H點(diǎn)．設(shè)ON=t，△ONH的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（3，0），且M（1，﹣ ）代入y=ax2+bx﹣2得 ，

解得：

（2）

解：在y=ax2+bx﹣2中，當(dāng)x=0時(shí)．y=﹣2，

∴C（0，﹣2），

∴OC=2，

如圖，設(shè)P（0，m），則PC=m+2，OA=3，AC= = ，

①當(dāng)PA=CA時(shí)，則OP1=OC=2，

∴P1（0，2）；

②當(dāng)PC=CA= 時(shí)，即m+2= ，∴m= ﹣2，

∴P2（0， ﹣2）；

③當(dāng)PC=PA時(shí)，點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，

則△AOC∽△P3EC，

∴ = ，

∴P3C= ，

∴m= ，

∴P3（0， ），

④當(dāng)PC=CA= 時(shí)，m=﹣2﹣ ，

∴P4（0，﹣2﹣ ），

綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)1（0，2）或（0， ﹣2）或（0， ）或（0，﹣2﹣ ）

（3）

解：過H作HG⊥OA于G，設(shè)HN交Y軸于M，

∵NH∥AC，

∴ ，

∴ ，

∴OM= ，

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x= = ，

∴OG= ，

∴GN=t﹣ ，

∵GH∥OC，

∴△NGH∽△NOM，

∴ ，

即 = ，

∴HG= t﹣ ，

∴S= ONGH= t（ t﹣ ）= t2﹣ t（0＜t＜3）．

【解析】（1）根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論；（2）在y=ax2+bx﹣2中，當(dāng)x=0時(shí)．y=﹣2，得到OC=2，如圖，設(shè)P（0，m），則PC=m+2，OA=3，根據(jù)勾股定理得到AC= = ，①當(dāng)PA=CA時(shí)，則OP1=OC=2，②當(dāng)PC=CA= 時(shí)，③當(dāng)PC=PA時(shí)，點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到P3（0， ），④當(dāng)PC=CA= 時(shí)，于是得到結(jié)論；（3）過H作HG⊥OA于G，設(shè)HN交Y軸于M，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OM= ，求得拋物線的對(duì)稱軸為直線x= = ，得到OG= ，求得GN=t﹣ ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到HG= t﹣ ，于是得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用勾股定理的概念和平行線分線段成比例的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．