【答案】
分析:當(dāng)E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)時(shí),由條件可知AM=AE=1,由勾股定理求出EM=
,通過證明△AME≌△DMF,可以得出EM=FM=
,EF=2
.過M作MN⊥BC,垂足為N(如圖),可以得出Rt△AME∽R(shí)t△QMG,可以求出MG=2
,最后由三角形的面積公式求出即可判斷①.
作EW⊥CD于W,MQ⊥BC于Q易證△EFW和△MGQ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出EF=MG,即可判斷②;
求出EM=2,求出FM,得出MG=EF=4,在△FMG中根據(jù)勾股定理求出FG,即可判斷③;
當(dāng)E在A點(diǎn)時(shí),P為正方形中心當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),P運(yùn)動(dòng)到P',證Rt△MPP'∽R(shí)t△EMG推出PP'=2MP=2,即可判斷④.
解答:解:
過M作MQ⊥BC于Q,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=2,∠A=∠B=90°,
∴∠A=∠B=∠BQM=90°,
∴四邊形ABQM數(shù)矩形,
∴MQ=AB=2,
∵E、M分別為AB、AD中點(diǎn),
∴AE=AM=1,AM=MD,
由勾股定理得:EM=
=
,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠A=∠ADF=90°,AB∥CD,
∴∠AEM=∠DFM,
∵在△AEM和△DFM中
,
∴△AEM≌△DFM(AAS),
∴EM=MF=
,
∴EF=2
,
∵四邊形ABQM是矩形,
∴∠AMQ=90°,
∵∠EMG=90°,
∴∠AME+∠EMQ=90°,∠EMQ+∠QMG=90°,
∴∠AME=∠QMG,
∵在△AME和△QGM中,∠A=∠MQG=90°,∠AME=∠QMG,
∴△AME∽△QMG,
∴
=
=
,
∴MQ=QG=2,
在Rt△MQG中,由勾股定理得:MG=2
,
∴S
△EFG=
EF×MG=
×2
×2
=4,∴①錯(cuò)誤;
過E作EW⊥CD于W,
∵M(jìn)Q⊥BC,四邊形ABCD是正方形,
∴EW=AD=MQ=AB,∠MHE=90°,
∵∠EMG=90°,
∴∠MEG+∠EMH=90°,∠EMH+∠GMH=90°,
∴∠MEH=∠QMG,
∵在△FEW和△GMQ中
,
∴△FEW≌△GMQ(ASA),
∴EF=MG,∴②正確;
∵∠A=90°,AM=1,AE=
,
∴由勾股定理得:EM=2=FM,
∴MG=EF=2+2=4,
在Rt△FMG中,由勾股定理得:FG=
=2√5,∴③正確;
當(dāng)E在A點(diǎn)時(shí),P為正方形中心
當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),P運(yùn)動(dòng)到P',
∵△ABM∽△MGB(已證),
=
=
,
∵P為MQ的中點(diǎn),P′為MG中點(diǎn),
∴PP′∥BC,
∴∠MPP′=∠MQG=90°=∠BMG,∠MP′P=∠MGB,
∴△MPP'∽△BGM,
∴
=
=
,
∴PP'=2MP=2,∴④正確;
即正確的有3個(gè).
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查了正方形性質(zhì),勾股定理,全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn),主要考查學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力,題目綜合性比較強(qiáng),難度偏大,對(duì)學(xué)生提出了較高的要求.