【答案】
分析:①由于∠A所對(duì)弧的度數(shù)為120°,根據(jù)圓周角定理可知∠A=60°;在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°,即∠FBC+∠FCB=60°,而∠BFE正好是△BFC的外角,即∠BFE=∠FBC+∠FCB=60°,即cos∠BFE=
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;故正確;
②若BC=BD,需滿足一個(gè)條件:∠BCD=∠BDC,且看這兩個(gè)角的表達(dá)式:∠BCD=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA;∠BDC=∠DBA+∠A=60°+∠DBA;聯(lián)立兩式,可得∠DBA=20°;此時(shí)∠ABC=40°,而沒有任何條件可以說(shuō)明∠ABC的度數(shù)是40°,即可得出本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
③由于F是∠ABC和∠ACB角平分線的交點(diǎn),因此F是△ABC的內(nèi)心,可過(guò)F作AB、AC的垂線,通過(guò)證構(gòu)建的直角三角形全等,得出FE=FD的結(jié)論,因結(jié)論正確;
④若BF=2DF,則F是△ABC的重心,即三邊中線的交點(diǎn),而題目給出的條件是F是△ABC的內(nèi)心,顯然兩者的結(jié)論相矛盾,因此不正確.
所以本題正確的結(jié)論:①③.
解答:
解:∵∠A所對(duì)弧的度數(shù)為120°
∴∠A=60°
∴∠ABC+∠BCA=180°-∠A=120°
∵∠ABC、∠ACB的角平分線分別是BD,CE
∴∠CBF+∠BCF=
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(∠ABC+∠BCA)=60°=∠BFE
∴cos∠BFE=
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,
∴即cos∠BFE=
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;故①正確;
∵∠BDC=∠A+
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∠ABC=60°+∠DBA
∠BCA=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA
若BC=BD成立,則應(yīng)有∠BDC=∠BCA
應(yīng)有60°+∠DBA=120°-2∠DBA,
即∠DBA=20°,
此時(shí)∠ABC=40°,
∴∠BCD=∠BDC=80°,
而根據(jù)題意,沒有條件可以說(shuō)明∠ABC是40°,
故②錯(cuò)誤;
∵點(diǎn)F是△ABC內(nèi)心,作FW⊥AC,F(xiàn)S⊥AB
則FW=FS,∠FSE=∠FWD=90°∠EFD=∠SFW=120°
∴∠SFE=∠WFD,△FSE≌△WFD
∴FD=FE,故③正確;
由于點(diǎn)F是內(nèi)心而不是各邊中線的交點(diǎn),故BF=2DF不一定成立,因此④不正確.
因此本題正確的結(jié)論為①③.
故答案為:①③.
點(diǎn)評(píng):本題利用了三角形內(nèi)角和定理,余弦的概念,角的平分線的性質(zhì),圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.