Question

【題目】如圖，在□ABCD中，AC=AD，⊙O是△ACD的外接圓，BC的延長線與AO的延長線交于E．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若AB=8，AD=5，求OE的長.

Answer 1

【答案】（1）證明參見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由已知得出弧AC=弧AD，由垂徑定理得出OA⊥CD，由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，因此OA⊥AB，即可得出結(jié)論；（2）連接OD，由垂徑定理得出CF=DF=4，由平行線得出△ADF∽△ECF，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，證出AD=CE，AF=EF，得出BC=CE，BE=10，由勾股定理求出AE，得出AF=EF=3，設(shè)OE=x，則OF=3﹣x，⊙O的半徑為6﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．

試題解析：（1）∵AC=AD，∴弧AC=弧AD，∴OA⊥CD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，∴OA⊥AB，∴AB是⊙O的切線；（2）連接OD，如圖所示：∵OA⊥CD，∴CF=DF=4，∵AD∥BC，∴△ADF∽△ECF，∴=1，∴AD=CE，AF=EF，∴BC=CE，∴BE=2BC=2AD=10，∴AE==6，∴AF=EF=3，設(shè)OE=x，則OF=3﹣x，⊙O的半徑為6﹣x，由勾股定理得：OF2+DF2=OD2，即（6﹣x）2=（3﹣x）2+42，解得：x=，即OE=．