Question

如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分別從A、B、C、D出發(fā)，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止、已知在相同時間內，若BQ=xcm（x≠0），則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x²cm，
（1）當x為何值時，點P、N重合；
（2）當x為何值時，以P、Q、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

分析：（1）由于若BQ=xcm（x≠0），則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x²cm，而點P、N重合，那么2x+x²=20，解這個方程即可求出x的值；
（2）由于當N點到達A點時，x=2

5

，此時M點和Q點還未相遇，所以點Q只能在點M的左側．
以P、Q、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時分兩種情況：
①當點P在點N的左側時，由此即可得到關于x的方程，解方程即可；
②當點P在點N的右側時，由此也可以列出關于x的方程，解方程即可．

解答：解：（1）∵P，N重合，
∴2x+x²=20，
∴x1=

21

-1，x2=-

21

-1（舍去），
∴當x=

21

-1時，P，N重合；

（2）因為當N點到達A點時，x=2

5

，此時M點和Q點還未相遇，
所以點Q只能在點M的左側，
①當點P在點N的左側時，依題意得
20-（x+3x）=20-（2x+x²），
解得x₁=0（舍去），x₂=2，
當x=2時四邊形PQMN是平行四邊形；
②當點P在點N的右側時，依題意得
20-（x+3x）=（2x+x²）-20，
解得x₁=-10（舍去），x₂=4，
當x=4時四邊形NQMP是平行四邊形，
所以當x=2或x=4時，以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評：此題是一個運動型問題，把運動和平行四邊形的性質結合起來，利用題目的熟練關系列出一元二次方程解決問題．解題時首先要認真閱讀題目，正確理解題意，然后才能正確設未知數(shù)列出方程解題．