Question

a、b為正整數(shù)，a²+b²除以a+b，商q余r，求滿足q²+r=1993的所有序數(shù)對（a、b）．

Answer 1

分析：首先設a²+b²=q（a+b）+r，根據(jù)題干條件，確定q的值，然后討論（a-22）²，（b-22）²的個位情況，進而得到有序實數(shù)對的個數(shù)．

解答：解：∵q²+r=1993，r≥0，∴q≤44，r=1993-q²，
若q＜43，則r≥1993-43²=144，
設a²+b²=q（a+b）+r，
∵a²+b²≥2ab，∴（a+b）²≤2（a²+b²）=2q（a+b）+2r，
則（a+b）²≤88（a+b）+2r＜90（a+b），
∴（a+b）＜90．則r＜90，
又∵q≤44，∴q=44，
∵a、b為自然數(shù)，a-22，b-22為整數(shù)，∴a-22，b-22的個數(shù)為0，5、1，4或6，9，
（1）當（a-22）²，（b-22）²的個位是0，5時，
則

a-22=±20 b-22=±25

或

a-22=±25 b-22=±20

即（a、b）為（42，47），（2，47）或（47，42），（47，2），
當（a-22）²，（b-22）²的個位是1，4，
則

a-22=±1 b-22=±32

，或

a-22=±8 b-22=±1

，

a-22=±32 b-22=±1

或

a-22=±31 b-22=±8

，
即（a，b）為（23，54），（21，54），（30，53），（14，53）或（54，21），（54，23），（53，30），（53，14），
（3）
當（a-22）²，（b-22）²的個位數(shù)為6，9時，整數(shù)a，b不存在，
綜上所述，滿足條件的有序對共12組．

點評：本題主要考查帶余數(shù)除法的知識點，對（a-22）²，（b-22）²的個位討論是解答的關鍵．