Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為一邊向外作等邊三角形ACD，點E為AB的中點，連接DE.

（1）證明:DE∥CB；

（2）探索AC與AB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形DCBE是平行四邊形.

Answer 1

分析:（1）根據(jù)∠BCD=90°+60°=150°,因此只要證明∠EDC=30°即可.根據(jù)已知條件及圖形的位置關(guān)系，連接CE,通過證明△ADE≌△CDE，得到∠EDC=30°，所以∠EDC+∠DCB=180°，從而證得DE∥CB.

（2）此題可通過假設(shè)四邊形DCBE是平行四邊形，求出AC與AB的數(shù)量關(guān)系.

（1）證明:如圖所示，連接CE,

∵ E為Rt△ACB的斜邊AB的中點，

∴ CE=AB=AE.

∵ △ACD是等邊三角形，∴ AD=CD.

在△ADE和△CDE中，AD=CD,DE=DE,AE=CE,

∴ △ADE≌△CDE(SSS).∴ ∠ADE=∠CDE=30°.

∵ ∠DCB=∠ACB+∠ACD=90°+60°=150°,

∴ ∠EDC+∠DCB=180°,∴ DE∥CB.

(2)解:∵ ∠DCB=150°,

若四邊形DCBE是平行四邊形，

則DC∥BE,∠DCB+∠B=180°,∴ ∠B=30°.

在Rt△ACB中，AC= AB或AB=2AC.

∴ 當(dāng)AC=AB或AB=2AC時，四邊形DCBE是平行四邊形.

點撥:(1)利用直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半進行轉(zhuǎn)化,說明線段相等是證明兩個三角形全等的關(guān)鍵；(2)對于條件探索性問題常通過逆向思維的方式得到解決.