Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，與CA的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．
（1）試說(shuō)明DF是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若AC=3AE，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切線(xiàn)；

（2）解：連接BE，

∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°，

∵AB=AC，AC=3AE，

∴AB=3AE，CE=4AE，

∴BE= =2 AE，

在RT△BEC中， = = ．

【解析】（1）連接OD，根據(jù)等邊對(duì)等角性質(zhì)和平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)證得OD⊥DF，從而證得DF是⊙O的切線(xiàn)；（2）根據(jù)圓周角定理、勾股定理得出BE=2 AE，CE=4AE，然后在RT△BEC中可求 的值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等腰三角形的性質(zhì)(等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角）)，還要掌握?qǐng)A周角定理(頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．