Question

【題目】在平面直角坐標系中，正方形的位置如圖所示，點的坐標為，點的坐標為，延長交軸于點，作正方形；延長交軸于點，作正方形……按這樣的規(guī)律進行下去，第1個正方形的面積為_____；第4個正方形的面積為____.

Answer 1

【答案】5；

【解析】

由點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．即可求得OA與OD的長，然后由勾股定理即可求得AD的長，繼而求得第1個正方形ABCD的面積；先證得△DOA∽△ABA1，然后由相似三角形的對應邊成比例，可求得A1B的長，即可求得A1C的長，即可得第2個正方形A1B1C1C的面積；以此類推，可得第3個、第4個正方形的面積．

解：∵點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．

∴OA=1，OD=2，

在Rt△AOD中，AD=，

∴正方形ABCD的面積為：（）2=5；

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，

∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，

∴∠ADO=∠BAA1，

∵∠DOA=∠ABA1，

∴△DOA∽△ABA1，

∴,即，

解得：A1B=，

∴A1C=A1B+BC= ，

∴正方形A1B1C1C的面積為：（）2=；

∵第1個正方形ABCD的面積為：5；

第2個正方形A1B1C1C的面積為：=

同理可得：第3個正方形A2B2C2C1的面積為：=（）2×5；

∴第4個正方形A3B3C3C2的面積為：（）3×5．

故答案為：5，（）3×5．