Question

【題目】問題探究：

（1）已知：如圖①，△ABC中請(qǐng)你用尺規(guī)在BC邊上找一點(diǎn)D，使得點(diǎn)A到點(diǎn)BC的距離最短．

（2）托勒密（Ptolemy）定理指出，圓的內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積．如圖②，P是正△ABC外接圓的劣弧BC上任一點(diǎn)（不與B、C重合），請(qǐng)你根據(jù)托勒密（Ptolemy）定理證明：PA=PB+PC

問題解決：

（3）如圖③，某學(xué)校有一塊兩直角邊長(zhǎng)分別為30m、60m的直角三角形的草坪，現(xiàn)準(zhǔn)備在草坪內(nèi)放置一對(duì)石凳及垃圾箱在點(diǎn)P處，使P到A、B、C三點(diǎn)的距離之和最小，那么是否存在符合條件的點(diǎn)P？若存在，請(qǐng)作出點(diǎn)P的位置，并求出這個(gè)最短距離（結(jié)果保留根號(hào)）；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）過點(diǎn)A作BC邊的垂線，垂足為D，點(diǎn)D即為所求，見解析；（2）證明見解析；（3）點(diǎn)P到A、B、C三點(diǎn)距離之和的最小值約是m．

【解析】

（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，點(diǎn)D即為所求．

（2）由托勒密定理得：PABC=BPAC+CPAB．再由等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BC=AC，代入即可得到結(jié)論．

（3）如圖③，以BC為邊向外作正ΔBCD，再作它的外接圓，連接AD，與外接圓交于點(diǎn)P，點(diǎn)P就是所要求作的位置．由托勒密定理得到PD=BP+PC，而三點(diǎn)A、P、D共線，因此點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離和PA+PB+PC=PA+PD=AD最短．過點(diǎn)D作DE⊥AC，交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．由含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理即可得出結(jié)論．

（1）過點(diǎn)A作BC邊的垂線，垂足為D，點(diǎn)D即為所求，如圖①．

（2）如圖②，由托勒密定理得：PABC=BPAC+CPAB．

又∵ΔABC為等邊三角形，∴AB=BC=AC，∴APBC=（BP+CP）BC．

∴AP=BP+PC．

（3）如圖③，以BC為邊向外作正ΔBCD，再作它的外接圓，連接AD，與外接圓交于點(diǎn)P，點(diǎn)P就是所要求作的位置．

由托勒密定理得：PD=BP+PC，而三點(diǎn)A、P、D共線，因此點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離和PA+PB+PC=PA+PD=AD最短．

過點(diǎn)D作DE⊥AC，交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

∵BC=CD=30，∠DCE=30°，∴DE=15，CE=．

在RtΔADE中，由勾股定理得：

=，則點(diǎn)P到A、B、C三點(diǎn)距離之和的最小值約是m．