Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=（k≠0）圖象上一點(diǎn)，AB⊥x軸于B點(diǎn)，一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象交y軸于D（0，－2），交x軸于C點(diǎn)，并與反比例函數(shù)的圖象交于A，E兩點(diǎn)，連接OA，若△AOD的面積為4，且點(diǎn)C為OB中點(diǎn)．

（1）分別求雙曲線及直線AE的解析式；

（2）若點(diǎn)Q在雙曲線上，且S△QAB=4S△BAC，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）y=x－2；（2）Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（12， ）或（－4，－2）．

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)和△AOD的面積，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，最后運(yùn)用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）先設(shè)Q的坐標(biāo)為（t， ），根據(jù)條件S△QAB=4S△BAC求得t的值，進(jìn)而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵D（0，-2），△AOD的面積為4，

∴×2×OB=4，

∴OB=4，

∵C為OB的中點(diǎn)，

∴OC=BC=2，C（2，0）

又∵∠COD=90°

∴△OCD為等腰直角三角形，

∴∠OCD=∠ACB=45°，

又∵AB⊥x軸于B點(diǎn)，

∴△ACB為等腰直角三角形，

∴AB=BC=2，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），

把A（4，2）代入y=，得k=4×2=8，

即反比例函數(shù)解析式為y=，

將C（2，0）和D（0，-2）代入一次函數(shù)y=ax+b，可得

，解得，

∴直線AE解析式為：y=x-2；

（2）設(shè)Q的坐標(biāo)為（t， ），

∵S△BAC=×2×2=2，

∴S△QAB=4S△BAC=8，

即×2×|t-4|=8，

解得t=12或-4，

在y=中，當(dāng)x=12時(shí)，y=；當(dāng)x=-4時(shí)，y=-2，

∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（12， ）或（-4，-2）．