Question

【題目】如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連接CP并延長，交AD于E，交BA的延長線于點F．

（1）圖中△APD與哪個三角形全等：_____．

（2）猜想：線段PC、PE、PF之間存在什么關(guān)系：_____．

Answer 1

【答案】（1）△APD≌△CPD（SAS）；（2） PC2＝PEPF．

【解析】

（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得∠ADP=∠CDP，DA=DC，從而得到△APD與△CPD全等．
（2）根據(jù)菱形的對邊互相平行得∠DCF=∠F，再根據(jù)（1）題的結(jié)論得到∠DCP=∠DAP，從而證得△PAE∽△PFA，然后利用比例線段證得等積式即可．

（1）∵四邊形ABCD為菱形，
∴∠ADP=∠CDP，DC=DA，
在△APD和△CPD中，
，
∴△APD≌△CPD（SAS）；

（2）∵四邊形ABCD為菱形，
∴∠DCF=∠F，
∵△APD≌△CPD，
∴∠DCP=∠DAP，
∴∠F=∠PAE，
∠APE=∠FPA

∴△PAE∽△PFA，
∴，
即：PA2=PEPF，
∵P是菱形ABCD的對角線BD上一點，
∴PA=PC，
∴PC2=PEPF．