Question

（本題滿分12分）如圖，拋物線y=x2+bx－2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（一1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結論；

（3）點M是拋物線對稱軸上的一個動點，當△ACM周長最小時，求點M的坐標及△ACM的最小周長．

Answer 1

（1）y=x2-x-2；（, -）；（2）△ABC是直角三角形；（3），△ACM最小周長是.

【解析】

試題分析：（1）用待定系數(shù)法求得b的值即可確定拋物線的解析式，然后求拋物線的頂點坐標；

（2）根據(jù)解析式求得點B和C的坐標，根據(jù)坐標確定線段AB、BC、CA的長，應用勾股定理的逆定理進行判斷；

（3）根據(jù)拋物線的軸對稱的性質得到點A關于對稱軸的對稱點B，應用軸對稱的知識完成線段和最短的計算.

試題解析：（1）∵點A（-1，0）在拋物線y=x2 + bx-2上，

∴× （-1 ）2 + b× （-1） –2 = 0，解得b =，

∴拋物線的解析式為y=x2-x-2．

∴y=（x-）2-,∴頂點D的坐標為（, -）．

（2）當x = 0時，y = -2，∴C（0，-2），OC = 2，

當y = 0時，x2-x-2 = 0， ∴x1 = -1, x2 = 4,∴B （4,0），

∴OA = 1，OB = 4，AB = 5，

∵AB2 = 25，AC2 = OA2 + OC2 = 5，BC2 = OC2 + OB2 = 20，

∴AC2 +BC2 = AB2，∴△ABC是直角三角形．

（3）點A關于對稱軸的對稱點B， BC交對稱軸于點M，根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC + MA的值最小，即△ACM周長最小，

可求直線BC的解析式為，

∴，△ACM最小周長是.

考點：待定系數(shù)法求解析式；勾股定理的逆定理；應用軸對稱求線段和最短.

考點分析： 考點1：二次函數(shù) 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)。
①所謂二次函數(shù)就是說自變量最高次數(shù)是2;
②二次函數(shù)（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數(shù)，自變量x 的取值范圍是全體實數(shù)，b和c可以是任意實數(shù)，a是不等于0的實數(shù)，因為a=0時，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù)，若b=0，則y=c是一個常數(shù)函數(shù)。
③二次函數(shù)（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個常數(shù)，那么這個二次函數(shù)就是一個一元二次函數(shù)。 二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）頂點式： （a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根x₁和x₂存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式，二次函數(shù)可轉化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。

二次函數(shù)的一般形式的結構特征：
①函數(shù)的關系式是整式；
②自變量的最高次數(shù)是2；
③二次項系數(shù)不等于零。 二次函數(shù)的判定：
二次函數(shù)的一般形式中等號右邊是關于自變量x的二次三項式；
當b=0，c=0時，y=ax²是特殊的二次函數(shù)；
判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關系式是整式的前提下，如果把關系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是。 試題屬性

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