Question

如圖，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/S的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，（其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)），設(shè)經(jīng)過t秒．
（1）如果P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于△ABC的面積的

1

3

？
（2）在（1）中，△PQB的面積能否等于10cm²？請(qǐng)說明理由．
（3）若P、Q分別從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長(zhǎng)度等于6cm？
（4）P、Q在移動(dòng)的過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使得PQ∥AC？若存在求出t的值，若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先表示出AP=t，BQ=2t，PB=AB-AP=6-t，再得出S_△PBQ與S_△ABC面積，利用S_△PBQ=

1

3

S_△ABC求出即可；
（2）利用S_△PBQ=t（6-t），假設(shè)等于10，利用根的判別式求出即可；
（3）根據(jù)PQ=6，利用勾股定理BP²+BQ²=PQ²，求出即可；
（4）當(dāng)PQ∥AC時(shí)，則△BPQ∽△BAC，得出對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系，再求出t即可．

解答：解：（1）∵P、Q移動(dòng)t秒時(shí)AP=t，BQ=2t，
則PB=AB-AP=6-t，
∴S_△PBQ=

1

2

BP•BQ=

1

2

(6-t)•2t=t(6-t)，
∵S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×6×8=24，
當(dāng)S_△PBQ=

1

3

S_△ABC時(shí)，則t（6-t）=24×

1

3

，
t²-6t+8=0，
t₁=2，t₂=4，
∴當(dāng)t=2或4時(shí)，△PBQ的面積等于△ABC的面積的

1

3

．

（2）不存在t的值，得△PQB的面積等于10cm²．
理由：設(shè)S_△PQB=10，由（1）知：S_△PBQ=t（6-t），
∴t（6-t）=10，整理得t²-6t+10=0，
∵△=（-6）²-4×1×10=-4＜0，
∴該方程無解，
∴不存在t的值，使得△PQB的面積等于10cm²．

（3）當(dāng)PQ=6時(shí)，在Rt△PBQ中，∵BP²+BQ²=PQ²，
∴（6-t）²+（2t）²=6²，
5t²-12t=0，
t（5t-12）=0，
t₁=0，t₂=

12

5

，
∵t=0時(shí)不合題意，舍去，
∴當(dāng)t=

12

5

時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于6cm．

（4）當(dāng)PQ∥AC時(shí)，則△BPQ∽△BAC，
∴

Bp

BA

=

BQ

BC

，
∴

6-t

6

=

2t

8

整理得3t=12-2t，
∴t=

12

5

，
∴當(dāng)t=

12

5

時(shí)，PQ∥AC．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積求法等知識(shí)，此題涉及知識(shí)較多，難度不大，關(guān)鍵是要對(duì)知識(shí)的熟練應(yīng)用．