Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系，O為坐標原點，點A（﹣2，0），點B（0，2）．

（1）直接寫求∠BAO的度數；

（2）如圖1，將△AOB繞點O順時針得△A′OB′，當A′恰好落在AB邊上時，設△AB′O的面積為S1，△BA′O的面積為S2，S1與S2有何關系？為什么？

（3）若將△AOB繞點O順時針旋轉到如圖2所示的位置，S1與S2的關系發(fā)生變化了嗎？證明你的判斷．

Answer 1

【答案】（1）∠BAO＝60°；（2）S1＝S2；理由見解析；（3）S1＝S2不發(fā)生變化；證明見解析.

【解析】

（1）先求出OA，OB，再用銳角三角函數即可得出結論；

（2）根據旋轉的性質和直角三角形的性質可證得OA'＝AA'＝AO＝A'B，然后根據等邊△AOA'的邊AO、AA'上的高相等，即可得到S1＝S2；

（3）根據旋轉的性質可得BO＝OB'，AA'＝OA'，再求出∠AON＝∠A'OM，然后利用“角角邊”證明△AON和△A'OM全等，根據全等三角形對應邊相等可得AN＝A'M，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明．

解：（1）∵A（2，0），B（0，），

∴OA＝2，OB＝，

在Rt△AOB中，tan∠BAO＝，

∴∠BAO＝60°；

（2）S1＝S2；

理由：∵∠BAO＝60°，∠AOB＝90°，

∴∠ABO＝30°，

∴OA'＝OA＝AB，△AOA'是等邊三角形，

∴OA'＝AA'＝AO＝A'B，

∵∠B'A'O＝60°，∠A'OA＝60°，

∴B'A'∥AO，

根據等邊三角形的性質可得，△AOA'的邊AO、AA'上的高相等，即△AB′O中AO邊上高和△BA′O中BA′邊上的高相等，

∴△BA'O的面積和△AB'O的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即S1＝S2；

（3）S1＝S2不發(fā)生變化；

理由：如圖，過點A'作A'M⊥OB．過點A作AN⊥OB'交B'O的延長線于N，

∵△A'B'O是由△ABO繞點O旋轉得到，

∴BO＝OB'，AO＝OA'，

∵∠AON＋∠BON＝90°，∠A'OM＋∠BON＝90°，

∴∠AON＝∠A'OM，

在△AON和△A'OM中，，

∴△AON≌△A'OM（AAS），

∴AN＝A'M，

∴△BOA'的面積和△AB'O的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即S1＝S2．