Question

已知，如圖，點(diǎn)C是線段AB上的任意一點(diǎn)(C點(diǎn)與A、B點(diǎn)不重合)，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，AE與CD相交于點(diǎn)M，BD與CE相交于點(diǎn)N． (1) 求證：△ACE≌△DCB； (2) 求證：MN∥AB； (3) 若線段AB的長為10cm，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上移動時，是否存在這樣的一點(diǎn)C，使線段MN的長度最長？若存在，請確定C點(diǎn)的位置并求出MN的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：1．證明(略)．;
解析：

(2)	證明：由(1)知，△ACE≌△DCB，∠AEC＝∠DBC， 　　又∵EC＝CB，∠MCE＝∠ECB＝， 　　∴△CME≌△CNB．∴CM＝CN． 　　又∵∠MCN＝，∴△CMN是等邊三角形． 　　∴∠MNC＝∠NCB＝ 　　∴MN∥AB
(3)	設(shè)AC＝x，MN＝y(tǒng)． 　　∵M(jìn)N∥AB， 　　＝ 　　又∵CB＝EC＝10－x，CN＝y(tǒng)，EN＝10－x－y， 　　∴＝ 　　即y＝－x2＋x＝－(x－5)2＋2.5(0＜x＜10)． 　　∴當(dāng)x＝5時，y有最大值為2.5cm． 　　∴當(dāng)C點(diǎn)是AB的中點(diǎn)時，線段MN的最大長度是2.5cm．