Question

【題目】如圖，的兩直角邊，分別在軸的負半軸和軸的正半軸上，為坐標原點，，兩點的坐標分別為、，拋物線經過點，且頂點在直線上．

（1）求拋物線對應的函數關系式；

（2）若是由沿軸向右平移得到的，當四邊形是菱形時，試判斷點和點是否在該拋物線上，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，若點是所在直線下方拋物線上的一個動點，過點作平行于軸交于．設點的橫坐標為，的長度為．求與之間的函數關系式，寫出自變量的取值范圍，并求取最大值時，點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）在，理由見解析；（3）s=，時，最大，點的坐標為．

【解析】

（1）已知了拋物線上A、B點的坐標以及拋物線的對稱軸方程，可用待定系數法求出拋物線的解析式．（2）首先求出AB的長，將A、B的坐標向右平移AB個單位，即可得出C、D的坐標，再代入拋物線的解析式中進行驗證即可．（3）根據C、D的坐標，易求得直線CD的解析式；那么線段MN的長實際是直線BC與拋物線的函數值的差，可將x=t代入兩個函數的解析式中，得出的兩函數值的差即為l的表達式，由此可求出l、t的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出l取最大值時，點M的坐標．

（1）∵的項點在直線上，

∴可設所求拋物線對應的函數關系式為，

∴點在此拋物線上，

∴，

∴，

∴所求函數關系式為：；

（2）在中，，，

∴，

∵四邊形是菱形，

∴，

∵兩點的坐標分別是、，

∴兩點的坐標分別是、；

當時，；

當時，；

∴點和點在所求拋物線上；

（3）設直線對應的函數關系式為，

則，

解得：；

∴．

∵軸，點點的橫坐標為，

∴點的橫坐標也為；

則，，

∴

，

∵，

∴當時，最大，此時．

此時點的坐標為．