Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，點D是邊AB上的動點，過點D作DE∥BC，交邊AC于點E，點Q是線段DE上的點，且QE=2DQ，連接BQ并延長，交邊AC于點P．設BD=x，AP=y．
（1）求y關于x的函數(shù)解析式及定義域；
（2）當△PQE是等腰三角形時，求BD的長；
（3）連接CQ，當∠CQB和∠CBD互補時，求x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示，

過點D作DF∥AC，交BP于F，則

根據(jù)QE=2DQ，可得

= ，

又∵DE∥BC，

∴ =1，

∴EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF= ，

∵DF∥AC，

∴ ，即 = ，

∴y= ，定義域為：0＜x＜3；

（2）解：∵DE∥BC，

∴△PEQ∽△PBC，

∴當△PEQ為等腰三角形時，△PBC也為等腰三角形，

①當PB=BC時，△ABC∽△BPC，

∴BC2=CPAC，即4=3（3﹣y），

解得y= ，

∴ = ，

解得x= =BD；

②當PC=BC=2時，AP=y=1，

∴ =1，

解得x= =BD；

③當PC=PB時，點P與點A重合，不合題意；

（3）解：∵DE∥BC，

∴∠BDQ+∠CBD=180°，

又∵∠CQB和∠CBD互補，

∴∠CQB+∠CBD=180°，

∴∠CQB=∠BDQ，

∵BD=CE，

∴四邊形BCED是等腰梯形，

∴∠BDE=∠CED，

∴∠CQB=∠CED，

又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，

∴∠DQB=∠ECQ，

∴△BDQ∽△QEC，

∴ ，即2DQ2=x2，

∴DQ= ，DE= ，

∵DE∥BC，

∴ ，即 = ，

解得x= ．

【解析】（1）過點D作DF∥AC，交BP于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF= ，進而根據(jù)DF∥AC，求得y= ，定義域為：0＜x＜3；（2）當△PEQ為等腰三角形時，△PBC也為等腰三角形，分三種情況討論：①當PB=BC時，②當PC=BC=2時，③當PC=PB時，分別求得BD的長即可；（3）先根據(jù)已知條件判定四邊形BCED是等腰梯形，判定△BDQ∽△QEC，得出 ，即2DQ2=x2 ， 再根據(jù)DE∥BC，得出 ，即 = ，求得x的值即可．
【考點精析】掌握等腰梯形的性質(zhì)和平行線分線段成比例是解答本題的根本，需要知道等腰梯形的兩腰相等；同一底上的兩個角相等；兩條對角線相等；三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．