Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D為AB的中點，E為線段AD上一點，過E點的線段FG交CD的延長線于G點，交AC于F點，且EG＝AE．分別延長CE，BG交于點H，若EH平分∠AEG，HD平分∠CHG則下列說法：①∠GDH＝45°；②GD＝ED；③EF＝2DM；④CG＝2DE+AE，正確的是（　　）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

首先證明△AEC≌△GEC（SAS），推出CA=CG，∠A=∠CGE=45°，推出DE=DG，故②正確；再證明△EDC≌△GDB，推出∠CED=∠BGD，ED=GD，由三角形外角的性質(zhì)得出∠HDG=∠HDE，進而得出∠GDH=∠EDH=45°，即可判斷①正確；

通過證明△EDC和△EMD是等腰直角三角形，得到ED=MD，再通過證明△EFC≌△EDC，得到EF=ED，從而可判斷③錯誤；由CG=CD+DG，CD=AD，ED=GD，變形即可判斷④正確．

∵AC=BC，∠ACB=90°，AD=DB，

∴CD⊥AB，CD=AD=DB，∠A=∠CBD=45°．

∵EH平分∠AEG，

∴∠AEH=∠GEH．

∵∠AEH+∠AEC=180°，∠GEH+∠CEG=180°，

∴∠AEC=∠CEG．

∵AE=GE，EC=EC，

∴△AEC≌△GEC（SAS），

∴CA=CG，∠A=∠CGE=45°．

∵∠EDG=90°，

∴∠DEG=∠DGE=45°，

∴DE=DG，∠AEF=∠DEG=∠A=45°，

故②正確；

∵DE=DG，∠CDE=∠BDG=90°，DC=DB，

∴△EDC≌△GDB（SAS），

∴∠CED=∠BGD，ED=GD．

∵HD平分∠CHG，

∴∠GHD=∠EHD．

∵∠CED=∠EHD+∠HDE，∠BGD=∠GHD+∠HDG，

∴∠HDG=∠HDE．

∵∠EDG=∠ADC=90°，

∴∠GDH=∠EDH=45°，故①正確；

∵∠EDC=90°，ED=GD，

∴△EDC是等腰直角三角形，

∴∠DEG=45°．

∵∠GDH=45°，

∴∠EDH=45°，

∴△EMD是等腰直角三角形，

∴ED=MD．

∵∠AEF=∠DEG=∠A=45°，

∴∠AFE=∠CFG=90°．

∵∠EDC=90°，

∴∠EFC=∠EDC=90°．

∵EH平分∠AEG，

∴∠AEH=∠GEH．

∵∠FEC=∠GEH，∠DEC=∠AEH，

∴∠FEC=∠DEC．

∵EC=EC，

∴△EFC≌△EDC，

∴EF=ED，

∴EF=MD．

故③錯誤；

∵CG=CD+DG=AD+ED=AE+ED+ED，

∴CG=2DE+AE，

故④正確．

故選B．