Question

如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，直線與x軸，y軸分別交于B，C兩點，拋物線經(jīng)過B，C兩點，與x軸的另一個交點為點A，動點P從點A出發(fā)沿AB以每秒3個單位長度的速度向點B運動，運動時間為t（0＜t＜5）秒．

（1）求拋物線的解析式及點A的坐標；

（2）以O(shè)C為直徑的⊙O′與BC交于點M，當(dāng)t為何值時，PM與⊙O′相切？請說明理由．

（3）在點P從點A出發(fā)的同時，動點Q從點B出發(fā)沿BC以每秒3個單位長度的速度向點C運動，動點N從點C出發(fā)沿CA以每秒個單位長度的速度向點A運動，運動時間和點P相同．

①記△BPQ的面積為S，當(dāng)t為何值時，S最大，最大值是多少？

②是否存在△NCQ為直角三角形的情形？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解答：

解：（1）在y=﹣x+9 中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12． ∴C（0，9），B（12，0）． 又拋物線經(jīng)過B，C兩點，∴，解得 ∴y=﹣x2+x+9． 于是令y=0，得﹣x2+x+9=0， 解得x1=﹣3，x2=12．∴A（﹣3，0）． （2）當(dāng)t=3秒時，PM與⊙O′相切．連接OM． ∵OC是⊙O′的直徑，∴∠OMC=90°．∴∠OMB=90°． ∵O′O是⊙O′的半徑，O′O⊥OP，∴OP是⊙O′的切線． 而PM是⊙O′的切線，∴PM=PO．∴∠POM=∠PMO． 又∵∠POM+∠OBM=90°，∠PMO+∠PMB=90°，∴∠PMB=∠OBM．∴PM=PB． ∴PO=PB=OB=6．∴PA=OA+PO=3+6=9．此時t=3（秒）． ∴當(dāng)t=3秒，PM與⊙O′相切． （3）①過點Q作QD⊥OB于點D． ∵OC⊥OB，∴QD∥OC．∴△BQD∽△BCO．∴=． 又∵OC=9，BQ=3t，BC=15，∴=，解得QD=t． ∴S△BPQ=BP•QD=．即S=． S=．故當(dāng)時，S最大，最大值為． ②存在△NCQ為直角三角形的情形． ∵BC=BA=15，∴∠BCA=∠BAC，即∠NCM=∠CAO． ∴△NCQ欲為直角三角形，∠NCQ≠90°，只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°兩種情況． 當(dāng)∠NQC=90°時，∠NQC=∠COA=90°，∠NCQ=∠CAO， ∴△NCQ∽△CAO．∴=．∴=，解得t=． 當(dāng)∠QNC=90°時，∠QNC=∠COA=90°，∠QCN=∠CAO， ∴△QCN∽△CAO．∴=．∴=，解得． 綜上，存在△NCQ為直角三角形的情形，t的值為和．