Question

【題目】如圖，正方形中，，，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，且，若的度數(shù)最大時(shí)，則長(zhǎng)為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADE=∠DCF，求得∠CPD=90°，得到點(diǎn)P在以CD為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，取CD的中點(diǎn)O，過(guò)O作OM⊥CD，且點(diǎn)M在CD的右側(cè)，MO=2，連接OP，KM，推出四邊形POMK是菱形，于是得到點(diǎn)K在以M為圓心，半徑為2的半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)BK與⊙M相切時(shí)，∠CBK最大，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

∵正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠CDA=90°，

∵AE=DF，

∴△ADE≌△DCF(SAS)，

∴∠ADE=∠DCF，

∵∠ADE+∠CDE=90°，

∴∠DCF+∠CDE=90°，

∴∠CPD=90°，

∴點(diǎn)P在以CD為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，

取CD的中點(diǎn)O，過(guò)O作OM⊥CD，且點(diǎn)M在CD的右側(cè)，MO=2，

連接OP，KM，過(guò)M作MN⊥BC，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，

∵PK∥BC，BC⊥CD，

∴PK⊥CD，

∴PK∥OM，PK=OM=2，

∴四邊形POMK是平行四邊形，

∵CD=AB=4，

∴OP=CD=2，

∴OP=OM，

∴四邊形POMK是菱形，

∴點(diǎn)K在以M為圓心，半徑為2的半圓上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)BK與⊙M相切時(shí)，∠CBK最大，

∴∠BKM=90°，

∵，

∴，

故選：A.