Question

（2011•岳池縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，雙曲線y1=

k

x

與直線y₂=k′x+b交于點(diǎn)A、E兩點(diǎn)．AE交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，AB⊥x軸于點(diǎn)B，C為OB中點(diǎn)．若D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2）且S_△AOD=4．
（1）求雙曲線與直線AE的解析式．
（2）求E點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）觀察圖象，寫出y₁＞y₂時(shí)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）需求A點(diǎn)坐標(biāo)，由S_△AOD=4，點(diǎn)D（0，-2），可求A的橫坐標(biāo)；由C是OB的中點(diǎn)，可得OD=AB求出A點(diǎn)縱坐標(biāo)，從而求出反比例函數(shù)解析式；根據(jù)A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)求一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）中所求出雙曲線解析式和直線AE的解析式組成方程組，求出x，的值，再根據(jù)E所在的象限即可求出它的坐標(biāo)；
（3）觀察圖象知，分兩種情況討論，當(dāng)y₁＞y_{2時(shí)得出x的取值范圍}；

解答：解：（1）作AM⊥y軸于點(diǎn)M，
∵D（0，-2），
∴DO=2，
∵S_△AOD=4且AM⊥y軸，
∴

1

2

•2AM=4，
∴AM=4．
∵y軸⊥x軸，AB⊥x軸，
∴∠ABC=∠DOC=90°．
∵C為OB中點(diǎn)，
∴BC=OC．
∵∠ACB=∠DCO，
∴△ABC≌△DOC（ASA），
∴AB=DO=2，
∴A（4，2）．
∵雙曲線過A，
∴

k

4

=2
∴k=8，
∴雙曲線解析式為：y=

8

x

．
∵直線AE過A（4，2）與D（0，-2），
∴

4k′+b=2 b=-2

，
解之得

k′=1 b=-2

，
∴直線AE解析式為：y=x-2；

（2）根據(jù)（1）得：

y= 8 x y=x-2

，
解得

x1=-2 y1=-4

x2=4 y2=2

，
根據(jù)E所在的象限得，E（-2，-4）；

（3）在y軸的右側(cè)，當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，x的取值范圍是：0＜x＜4，
在y軸的左側(cè)，當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，x的取值范圍是x＜-2，
所以y₁＞y₂時(shí)x的取值范圍是：0＜x＜4或x＜-2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)的綜合；熟練掌握通過求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)一步求函數(shù)解析式的方法；通過觀察圖象解不等式時(shí)，從交點(diǎn)看起，函數(shù)圖象在上方的函數(shù)值大．