Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC、∠BCD的平分線正好相交于梯形的中位線EF上的點G．
（1）試說明：△BEG是等腰三角形；
（2）若EF=2，求梯形的周長．

Answer 1

（1）解：∵EF是梯形ABCD的中位線，
∴EF=（AD+BC），EF∥BC，
∴∠EGB=∠CBG，
∵BG平分∠ABC，
∴∠EBG=∠CBG，
∴∠EGB=∠EBG，
∴BE=EG，
即△BEG是等腰三角形．

（2）解：由（1）證出EB=EG，
同理可證：CF=FG，
∴CF+BE=EF=2，
即AB+CD=2×2=4，
∵EF=（AD+BC），
∴AD+BC=4，
∴梯形ABCD的周長是AB+BC+CD+AD=4+4=8，
答：梯形的周長為8．
分析：（1）根據(jù)梯形的中位線定理求出EF∥BC，推出∠EGB=∠CBG，根據(jù)角平分線求出∠EBG=∠CBG，推出∠EBG=∠EGB即可；
（2）求出AD+BC的值，推出CF+BE=4，推出AB+CD=4，根據(jù)梯形的周長為AD+BC+CD+AD，代入求出即可．
點評：本題綜合考查了等腰三角形的判定，平行線的性質，梯形的中位線定理，角平分線定義等知識點的應用，關鍵是求出BE=EG，CF=GF，題目比較典型，難度也不大．