Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝a（x2+2mx﹣3m2）（其中a，m是常數(shù)a＜0，m＞0）的圖象與x軸分別交于A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖象上，CD∥AB，連結(jié)AD．過點(diǎn)A作射線AE交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E，AB平分∠DAE．

（1）求a與m的關(guān)系式；

（2）求證：為定值；

（3）設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為F．探索：在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)G，連結(jié)GF，以線段GF、AD、AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個(gè)滿足要求的點(diǎn)G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）am2＝﹣1；（2）證明見解析；（3）存在，點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為3m．

【解析】

（1）將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

（2）證明RtADM△∽Rt△ANE，求出點(diǎn)E（x，），將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，得到E（﹣4m，﹣5），即可求解；

（3）求出點(diǎn)F（﹣m，4），得到直線FC的表達(dá)式，求出點(diǎn)G（3m，0），即可求解．

解：（1）將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：﹣3am2＝3，

解得：am2＝﹣1；

（2）對(duì)于二次函數(shù)y＝a（x2+2mx﹣3m2），令y＝0，則x＝m或﹣3m，

∴函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝﹣m，

∵CD∥AB，

∴點(diǎn)D、C的縱坐標(biāo)相同，故點(diǎn)D（﹣2m，3），

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（m，0）、（﹣3m，0），

設(shè)點(diǎn)E（x，y），y＝a（x2+2mx﹣3m2），

分別過點(diǎn)D、E作x軸的垂線，垂足分別為M、N，

∵AB平分∠DAE，

∴∠DAM＝∠EAN，

∴RtADM△∽Rt△ANE，

∴，即，

解得：y＝，

故點(diǎn)E（x，），

將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：x＝﹣4m，

則y＝＝﹣5，

故點(diǎn)E（﹣4m，﹣5），

故＝＝為定值；

（3）存在，理由：

函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝﹣m，當(dāng)x＝﹣m時(shí)，y＝a（x2+2mx﹣3m2）＝4，即點(diǎn)F（﹣m，4），

由點(diǎn)F、C的坐標(biāo)得，直線FC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，令y＝0，則x＝3m，即點(diǎn)G（3m，0），

GF2＝（3m+m）2+42＝16m2+16，

同理AD2＝9m2+9，AE2＝25m2+25，

故AE2＝AD2+GF2，

GF、AD、AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，

點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為3m．