Question

已知，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合）．以AD為邊作菱形ADEF，使∠DAF=60°，連接CF．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，
①求證：∠ADB=∠AFC；②請(qǐng)直接判斷結(jié)論∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，結(jié)論∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？請(qǐng)寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過(guò)程；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn)A、F分別在直線BC的異側(cè)，其他條件不變，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并直接寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的等量關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）此題只需由AB=AC，AD=AF，∠BAD=∠CAF，按照SAS判斷兩三角形全等得出∠ADB=∠AFC；
（2）此題應(yīng)先判斷得出正確的等量關(guān)系，然后再根據(jù)△ABD≌△ACF即可證明；
（3）此題只需補(bǔ)全圖形后由圖形即可得出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的等量關(guān)系．
解答：解：（1）①證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵∠DAF=60°，
∴∠BAC=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵四邊形ADEF是菱形，∴AD=AF，
在△ABD和△ACF中
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠ADB=∠AFC，
②結(jié)論：∠AFC=∠ACB+∠DAC成立．

（2）結(jié)論∠AFC=∠ACB+∠DAC不成立．
∠AFC、∠ACB、∠DAC之間的等量關(guān)系是∠AFC=∠ACB-∠DAC．
證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，
∠BAC=60°，
∵∠BAC=∠DAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵四邊形ADEF是菱形，
∴AD=AF．
在△ABD和△ACF中
AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△ABD≌△ACF．
∴∠ADB=∠AFC．
又∵∠ACB=∠ADC+∠DAC，
∴∠AFC=∠ACB-∠DAC．

（3）補(bǔ)全圖形如下圖：

∠AFC、∠ACB、∠DAC之間的等量關(guān)系是：∠AFC=2∠ACB-∠DAC
（或∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°以及這兩個(gè)等式的正確變式）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，同學(xué)們應(yīng)好好掌握．