Question

【題目】如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+6與x軸、y軸分別交于B、A兩點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A開沿y軸以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（當(dāng)P，Q兩點(diǎn)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)）如果點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）如果點(diǎn)Q的速度為每秒個(gè)單位長度，那么當(dāng)t＝5時(shí)，求證：△APQ∽△ABO；

（2）如果點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長度，那么多少秒時(shí)，△APQ的面積為16？

（3）若點(diǎn)H為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)t＝4時(shí)，以點(diǎn)A，P，H，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2秒時(shí)，△APQ的面積為16；（3）點(diǎn)H的坐標(biāo)為：（，6），（﹣，4）．

【解析】

（1）根據(jù)已知得：直線與x、y軸的交點(diǎn)B（8，0）、A（0，6），AP＝5，AQ＝3，對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等即可證明；

（2）作QE⊥y軸于點(diǎn)E，用含t的式子表示AP和QE，利用三角形的面積即可求解；

（3）根據(jù)題意畫出矩形即可寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)．

（1）根據(jù)題意，得

當(dāng)t＝5時(shí)，AP＝5，AQ＝3，

∴B（8，0），A（0，6），

∴OB＝8，OA＝6，∴AB＝10，

∴＝＝，∠PAQ＝∠BAO，

∴△APQ∽△ABO；

（2）如圖：

過點(diǎn)Q作QE⊥OA于點(diǎn)E，

在Rt△AOB和Rt△AQE中，

sin∠BAO＝＝，sin∠QAE＝＝，

∴＝，

∴QE＝t，

∴S△APQ＝APQE＝16，

即×t×t＝16

∴t＝2．

答：那么2秒時(shí)，△APQ的面積為16．

（3）如圖：

設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒x個(gè)單位長度，

當(dāng)t＝4時(shí)，AP＝4，AQ＝4x，

∵以點(diǎn)A，P，H，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，

∴PQ∥OB，

∴＝，即＝，

∴PQ＝，

∴H（，6）．

設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒x個(gè)單位長度，

當(dāng)t＝4時(shí)，AP＝4，AQ＝4x，

∵以點(diǎn)A，P，H，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，

當(dāng)AP為矩形對(duì)角線時(shí)，

＝

解得x＝

∴Q′C＝＝．

∴H（﹣，4）．

所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為：（，6）．（﹣，4）．