Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與兩軸分別交于A、B、C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）．點(diǎn)P在第二象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E．

（1）b＝　 　；c＝　 　；

（2）求線段PE取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，這個(gè)最大值是多少；

（3）連接AP，并以AP為邊作等腰直角△APQ，當(dāng)頂點(diǎn)Q恰好落在拋物線的對稱軸上時(shí)，直接寫出對應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）b=-2，c=3； （2）當(dāng)P時(shí)，線段PE有最大值；（3）

【解析】

（1）只需把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c即可求得b、c的值；

（2）用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)也為a，則點(diǎn)P、E的縱坐標(biāo)就可用a的代數(shù)式表示，PE的長度也就可以用a的代數(shù)式表示，然后運(yùn)用二次函數(shù)的最值性就可求出PE最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）等腰直角△APQ的三邊都可能是底邊，故分三種情況進(jìn)行討論，然后構(gòu)造全等三角形，得到相等線段，然后用一個(gè)字母表示一條線段，從而將點(diǎn)P的坐標(biāo)用該字母表示，然后代入拋物線的解析式，就可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），

∴．

解得：．

故答案為：-2、3；

（2）由（1）知拋物線的解析式為y=-x2-2x+3．

則點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，

則有．

解得：．

∴直線AC的解析式為y=x+3．

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)也為a．

∴yP=-a2-2a+3，yE=a+3．

∴PE=yP-yE=（-a2-2a+3）-（a+3）

=-a2-3a

=-（a+）2+．

∵-1＜0，

∴當(dāng)a=-時(shí)，PE取到最大值，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為

故當(dāng)P時(shí)，線段PE有最大值；

（3）Ⅰ．若AQ為等腰直角△APQ的底邊，如圖2，

則有AP=PQ，∠APQ=90°．

過點(diǎn)P作PG⊥OA，垂足為G，過點(diǎn)P作PT⊥QH，垂足為T，

∵∠PGH=∠GHT=∠PTH=90°，

∴四邊形PGHT是矩形．

∴∠GPT=90°，PT=GH，PG=HT．

∴∠APG=90°-∠GPQ=∠TPQ．

在△AGP和△QTP中，

∵

∴△AGP≌△QTP．

∴AG=TQ，PG=PT．

∴PG=GH．

∵拋物線y=-x2-2x+3的對稱軸為x=,

∴OH=1．

設(shè)PG=t（t＞0），則OG=GH+OH=PG+OH=t+1．

∵點(diǎn)P在第二象限，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-t-1，t）．

∵點(diǎn)P在拋物線y=-x2-2x+3上，

∴t=-（-t-1）2-2（-t-1）+3．

整理得：t2+t-4=0．

解得：（舍去），，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為

Ⅱ．若PQ為等腰直角△APQ的底邊，如圖3，

則有AP=AQ，∠PAQ=90°．

過點(diǎn)P作PG⊥OA，垂足為G，

則有∠APG=90°-∠PAG=∠HAQ．

在△AGP和△QHA中

∵

∴△AGP≌△QHA．

∴PG=AH．

∵AH=AO-OH=3-1=2，

∴PG=2．

∴yP=2．

解-x2-2x+3=2得，

∵點(diǎn)P在第二象限，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2）．

Ⅲ．若AP為等腰直角△APQ的底邊，如圖4，

則有AQ=PQ，∠AQP=90°．

過點(diǎn)P作PT⊥QH，垂足為T，

則有∠AQH=90°-∠PQT=∠TPQ．

在△AHQ和△QTP中，

∵

∴△AHQ≌△QTP．

∴AH=QT，QH=PT．

∵AH=2，

∴QT=2．

設(shè)QH=PT=p（p＞0），則TH=p+2，

∵點(diǎn)P在第二象限，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-p-1，p+2）．

∵點(diǎn)P在拋物線y=-x2-2x+3上，

∴p+2=-（-p-1）2-2×（-p-1）+3．

整理得：p2+p-2=0．

解得：p1=-2（舍去），p2=1，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，3）．

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為