Question

【題目】在平面直角坐標系中（如圖），已知拋物線與x軸交于點A(－1,0)和點B，與y軸交于點C(0,－2)．

（1）求該拋物線的表達式，并寫出其對稱軸

（2）點E為該拋物線的對稱軸與x軸的交點，點F在對稱軸上，四邊形ACEF為梯形，求點F的坐標

（3）點D為該拋物線的頂點，設(shè)點P(t, 0)，且t＞3，如果△BDP和△CDP的面積相等，求t的值．

Answer 1

【答案】（1），對稱軸為直線x＝1；（2）點F的坐標是（1，4）；（3）t的值為5

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的表達式，進一步得到對稱軸即可；
（2）因為AC與EF不平行，且四邊形ACEF為梯形，所以有CE∥AF，得到∠FAE＝∠OEC，利用tan∠FAE=tan∠OEC，即可求出EF，得到點F的坐標；

（3）計算出拋物線的頂點坐標，以及拋物線與x軸的另一個交點B的坐標，根據(jù)t﹥3，得出得點P在點B的右側(cè)，表達出S△BPD與S△CDP，列出方程即可求出t的值．

解：（1）點A（－1，0）和點C（0，－2）在拋物線上，

∴，解得

∴該拋物線的表達式為：

該拋物線的對稱軸為直線x＝1

（2）∵點E為該拋物線對稱軸與x軸的交點，

∴E（1，0）

∵AC與EF不平行，四邊形ACEF為梯形，AC與y軸的交點為點C，

∴AF∥CE，

∴∠FAE＝∠OEC

在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，

在Rt△OEC中，，

∴．

∵OC＝2，OE＝1，AE＝2，

∴，

解得EF＝4

∴點F的坐標是（1，4）

（3）∵，

∴拋物線的頂點D的坐標是，

∵點A（－1，0），

∴拋物線與x軸的另一個交點B的坐標（3，0）

由點P（t，0），且t﹥3，得點P在點B的右側(cè)，

過點D作DM⊥x軸于點M，

則，

即

∵，

∴

∴t＝5

即符合條件的t的值為5．