Question

19．如圖，矩形ABCD的對角線交于點O，正方形OEFG的一條邊OE在直線OD上，OG與CD交于點M，正方形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，OG′，OE′分別與CD，AD交于點P，Q．已知矩形長與寬的比值為2，則在旋轉(zhuǎn)過程中PM：DQ=（　�。�

• A． 1：3
• B． 2：3
• C． 1：2
• D． 3：4

Answer 1

分析 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠MOP=∠DOQ，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠PMO=∠QDO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{PM}{DQ}=\frac{OM}{OD}$，根據(jù)三角函數(shù)的定義 得到$\frac{OM}{OD}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠MOP=∠DOQ，
∵∠DMO+∠MDO=∠MDO+∠QDO=90°，
∴∠PMO=∠QDO，
∴△OPM∽△DOQ，
∴$\frac{PM}{DQ}=\frac{OM}{OD}$，
∵CD∥AB，
∴∠MDO=∠ABD，
∴tan∠MDO=tan∠ABD，
即$\frac{OM}{OD}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴PM：DQ=$\frac{1}{2}$，
故選C．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，正方形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．