Question

【題目】(1)如圖①,畫一條平行于BC的直線，使其將△ABC分成兩部分，且所分三角形與梯形面積比為1:3;

(2)如圖②，△ABC中AB=4，AC=3，BC=6，D是△ABC中AC邊上的點(diǎn)，AD=2，過點(diǎn)D畫一條直線l將△ABC分成兩部分，l與△ABC另一邊的交點(diǎn)為點(diǎn)P,使其所分的一個(gè)三角形與△ABC相似，并求出DP的長(zhǎng);

(3)如圖③所示，在等腰△ABC中，CA=CB=10，AB=12.在△ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE.EF在邊AB上，點(diǎn)P.N分別在邊CB.CA上，若較大正方形的邊長(zhǎng)為a,請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示較小正方形的邊長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見解析；(2)見解析，PD=4；（3）小正方形邊長(zhǎng)為.

【解析】

（1）直線MN將三角形與梯形面積比為1:3，則△AMN與△ABC的面積比是1:4，則相似比是1:2，所以過AB，AC的中點(diǎn)M,N作BC的平行線即可；

（2）先求到CD=1，再分DP// BC，DP//AB，∠CDP=∠B, ∠ADP=∠B四種情況討論，可得到DP的長(zhǎng)；

（3）設(shè)正方形EFPH的邊長(zhǎng)為b,過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，證得△ADN∽△AGC，△BFP∽△BGC，得到，，再根據(jù)AD+DE +EF +FB=AB=12，所以，從而得到小正方形邊長(zhǎng)為.

解: (1)如圖所示:直線MN即為所求，M.N分別為AB.AC中點(diǎn)

(2)∵AC=3, AD=2，

∴ CD=1

①當(dāng)DP// BC時(shí)，△APD∽△ABC

，即

∴ PD=4

②當(dāng)DP//AB時(shí)，△CDP∽△CAB

，即

③當(dāng)∠CDP=∠B時(shí)，△CDP∽△CBA

，即

∴

④當(dāng)∠ADP=∠B時(shí)，，則△ADP∽△ABC，

，即

∴

(3)設(shè)正方形EFPH的邊長(zhǎng)為b,過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，

∵CA=CB=10， AB=12

∴ AG=BG=6

在Rt△AGC中，由勾股定理，得:

由題意得: △ADN∽△AGC，△BFP∽△BGC

，

即，

∴ ，

∵AD+DE +EF +FB=12

∴，即a+b=

∴

綜上所述，小正方形邊長(zhǎng)為