Question

【題目】如圖，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標(biāo)系中，B(2，0)，∠AOB=60°，點(diǎn)A在第一象限，過(guò)點(diǎn)A的雙曲線為.在x軸上取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對(duì)稱軸，線段OB經(jīng)軸對(duì)稱變換后的像是OB．

（1）當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是 ；

（2）設(shè)P(t，0)，當(dāng)OB與雙曲線有交點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（1）（4，0）；（2）4≤t≤或≤t≤－4

【解析】

（1）當(dāng)點(diǎn)O′與點(diǎn)A重合時(shí)，即點(diǎn)O與點(diǎn)A重合，進(jìn)一步解直角三角形AOB，利用軸對(duì)稱的現(xiàn)在解答即可；

（2）分別求出O′和B′在雙曲線上時(shí)，P的坐標(biāo)即可．

解：（1）當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí)，

∵∠AOB=60°，過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對(duì)稱軸，線段OB經(jīng)軸對(duì)稱變換后的像是OB．

AP′=OP′，

∴△AOP′是等邊三角形，

∵B（2，0），

∴BO=BP′=2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，0），

（2）∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，

∴∠MP′O=30°，

∴OM=t，OO′=t，

過(guò)O′作O′N(xiāo)⊥X軸于N，

∠OO′N(xiāo)=30°，

∴ON=t，NO′=t，

∴O′（t，t），

根據(jù)對(duì)稱性可知點(diǎn)P在直線O′B′上，

設(shè)直線O′B′的解析式是y=kx+b，代入得，

解得：，

∴y=﹣x+t①，

∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，

∴OA=4，AB=2，

∴A（2，2）），代入反比例函數(shù)的解析式得：k=4，

∴y=②，

①②聯(lián)立得，x2﹣tx+4=0，

即x2﹣tx+4=0③，

b2﹣4ac=t2﹣4×1×4≥0，

解得：t≥4，≤﹣4．

又O′B′=2，根據(jù)對(duì)稱性得B′點(diǎn)橫坐標(biāo)是1+t，

當(dāng)點(diǎn)B′為直線與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)，

由③得，（x﹣t）2﹣+4=0，

代入，得（1+t﹣t）2﹣+4=0，

解得t=±2，

而當(dāng)線段O′B′與雙曲線有交點(diǎn)時(shí)，

t≤2或t≥﹣2，

綜上所述，t的取值范圍是4≤t≤2或﹣2≤t≤﹣4．