Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2-2ax-3a（a≠0）頂點(diǎn)為P，且該拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．我們規(guī)定：拋物線與x軸圍成的封閉區(qū)域稱為“G區(qū)域”（不包含邊界）；橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．

（1）求拋物線y=ax2-2ax-3a頂點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）如果拋物線y=ax2-3ax-3a經(jīng)過（1，3）．

①求a的值；

②在①的條件下，直接寫出“G區(qū)域”內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

（3）如果拋物線y=ax2-2ax-3a在“G區(qū)域”內(nèi)有4個(gè)整點(diǎn)，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-4a）．（2）①a=-．②“G區(qū)域”有6個(gè)整數(shù)點(diǎn)．（3）a的取值范圍為-≤a＜-或＜a≤．

【解析】

（1）利用配方法將拋物線的解析式變形為頂點(diǎn)式，由此即可得出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）將點(diǎn)（1，3）代入拋物線解析式中，即可求出a值，再分析當(dāng)x=0、1、2時(shí)，在“G區(qū)域”內(nèi)整數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可得出結(jié)論；
（3）分a＜0及a＞0兩種情況考慮，依照題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出關(guān)于a的不等式組，解之即可得出結(jié)論．

解：（1）∵y=ax2-2ax-3a=a（x+1）（x-3）=a（x-1）2-4a，

∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-4a）．

（2）∵拋物線y=a（x+1）（x-3）經(jīng)過（1，3），

∴3=a（1+1）（1-3），

解得：a=-．

當(dāng)y=-（x+1）（x-3）=0時(shí)，x1=-1，x2=3，

∴點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0）．

當(dāng)x=0時(shí)，y=-（x+1）（x-3）=，

∴（0，1）、（0，2）兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)在“G區(qū)域”；

當(dāng)x=1時(shí)，y=-（x+1）（x-3）=3，

∴（1，1）、（1，2）兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)在“G區(qū)域”；

當(dāng)x=2時(shí)，y=-（x+1）（x-3）=，

∴（2，1）、（2，2）兩個(gè)整數(shù)點(diǎn)在“G區(qū)域”．

綜上所述：此時(shí)“G區(qū)域”有6個(gè)整數(shù)點(diǎn)．

（3）當(dāng)x=0時(shí)，y=a（x+1）（x-3）=-3a，

∴拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3a）．

當(dāng)a＜0時(shí)，如圖1所示，

此時(shí)有，

解得：-≤a＜-；

當(dāng)a＞0時(shí)，如圖2所示，

此時(shí)有，

解得：＜a≤．

綜上所述，如果G區(qū)域中僅有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)時(shí)，則a的取值范圍為-≤a＜-或＜a≤．