Question

（2013年四川瀘州2分）如圖，在等腰直角△ACB=90°，O是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在直角邊AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于點(diǎn)P．則下列結(jié)論：

（1）圖形中全等的三角形只有兩對(duì)；（2）△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍；（3）CD+CE=OA；（4）AD²+BE²=2OP•OC．其中正確的結(jié)論有【　　】

A．1個(gè)　　　　　B．2個(gè)　　　　　C．3個(gè)　　　　　D．4個(gè)

 

Answer 1

【答案】

C。

【解析】結(jié)論（1）錯(cuò)誤。理由如下：

圖中全等的三角形有3對(duì)，分別為△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE：

由等腰直角三角形的性質(zhì)，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC。

∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE。

在△AOD與△COE中，∵，∴△AOD≌△COE（ASA）。

同理可證：△COD≌△BOE。

結(jié)論（2）正確。理由如下：

∵△AOD≌△COE，∴S_△AOD=S_△COE。

∴S_{四邊形CDOE}=S_△COD+S_△COE=S_△COD+S_△AOD=S_△AOC=S_△ABC，

即△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍。

結(jié)論（3）正確。理由如下：

∵△AOD≌△COE，∴CE=AD�！郈D+CE=CD+AD=AC=OA。

結(jié)論（4）正確。理由如下：

∵△AOD≌△COE，∴AD=CE。

∵△COD≌△BOE，∴BE=CD。

在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD²+CE²=DE²，∴AD²+BE²=DE²。

∵△AOD≌△COE，∴OD=OE。

又∵OD⊥OE，∴△DOE為等腰直角三角形�！郉E²=2OE²，∠DEO=45°。

∵∠DEO=∠COE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE。∴，即OP•OC=OE²。

∴DE²=2OE²=2OP•OC�！郃D²+BE²=2OP•OC。

綜上所述，正確的結(jié)論有3個(gè)。故選C。

考點(diǎn)：等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)。