Question

如圖，現(xiàn)有兩塊全等的直角三角形紙板Ⅰ，Ⅱ，它們兩直角邊的長(zhǎng)分別為1和2．將它們分別放置于平面直角坐標(biāo)系中的，處，直角邊在軸上．一直尺從上方緊靠?jī)杉埌宸胖�，讓紙板Ⅰ沿直尺邊緣平行移�?dòng)．當(dāng)紙板Ⅰ移動(dòng)至處時(shí)，設(shè)與分別交于點(diǎn)，與軸分別交于點(diǎn)．
（1）求直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)是線段（端點(diǎn)除外）上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，試探究：
①點(diǎn)到軸的距離與線段的長(zhǎng)是否總相等？請(qǐng)說(shuō)明理由；
②兩塊紙板重疊部分（圖中的陰影部分）的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及取最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）由直角三角形紙板的兩直角邊的長(zhǎng)為1和2，
知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．
設(shè)直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．
有解得
所以，直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．
（2）①點(diǎn)到軸距離與線段的長(zhǎng)總相等．
因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．
又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，
所以可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．
過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)，則有．

因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以有．
因?yàn)榧埌鍨槠叫幸苿?dòng)，故有，即．
又，所以．
法一：故，
從而有．
得，．
所以．
又有．
所以，得，而，
從而總有．
法二：故，可得．
故．
所以．
故點(diǎn)坐標(biāo)為．
設(shè)直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，
則有解得
所以，直線所對(duì)的函數(shù)關(guān)系式為．
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得．解得．
而，從而總有．
②由①知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

．
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．
取最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）根據(jù)圖形得到知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)圖形得到點(diǎn)的坐標(biāo)從而求出直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．根據(jù)點(diǎn)在直線設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo).利用平移得到以及又，所以，然后得到三角形相似，從而得出線段成比例，從而證明h=BH.(3)將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為.設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，表示出，從而得到相應(yīng)的二次函數(shù).利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得陰影部分面積的最大值.