Question

如圖，已知：AB是⊙O的直徑，AC是弦，CD切⊙O于點(diǎn)C，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，∠ACD=120°，BD=5．
（1）求證：CA=CD；
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)切線的性質(zhì)，推出∠A，∠D的度數(shù)，即可推出結(jié)論，（2）根據(jù)（1）所推出的結(jié)論進(jìn)行等量代換得，2OC=5+OC，然后根據(jù)∠D的度數(shù)，依據(jù)特殊角的三角函數(shù)，即可推出OC的長(zhǎng)度，即⊙O的半徑．
解答：（1）證明：連接OC，
∵CD切⊙O于點(diǎn)C，
∴∠OCD=90°，
∵∠ACD=120°，
∴∠ACO=30°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴OA=OC=OB，
∴∠A=30°，
∴∠D=30°，
∴CA=CD，

（2）解：∵在Rt△OCD中，∠D=30°，
∴2OC=OD，
∵OB=OC，BD=5，
∴OD=5+OC，
∴2OC=5+OC，
∴OC=5，即⊙O的半徑為5．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，關(guān)鍵在于通過(guò)作輔助線OC構(gòu)建直角三角形，求出∠D、∠A的度數(shù)．