Question

【題目】如圖1，點(diǎn)D為△ABC邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)．

（1）若∠A∶∠ABC=3∶4，∠ACD=140°，求∠A的度數(shù)；

（2）若∠ABC的角平分線(xiàn)與∠ACD的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥BM于點(diǎn)P．

求證： ；

（3）在（2）的條件下，將△MBC以直線(xiàn)BC為對(duì)稱(chēng)軸翻折得到△NBC，∠NBC的角平分線(xiàn)與∠NCB的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)Q（如圖2），試探究∠BQC與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并證明．

Answer 1

【答案】（1）60°°；

（2）證明見(jiàn)解析；

（3）∠BQC=90°+ ∠A，理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)∠A：∠ABC=3：4，設(shè)∠A=3k，∠ABC=4k，再由三角形外角的性質(zhì)求出k的值，進(jìn)而可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠M=∠MCD-∠MBC，∠A=∠ACD-∠ABC．再由MC、MB分別平分∠ACD、∠ABC得出 , ,

故,根據(jù)CP⊥BM即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)BQ平分∠CBN，CQ平分∠BCN可知 , ，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知， ,根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)知：

∠M=∠N，由此可得出結(jié)論．

（1）解：∵，∴可設(shè)．

又∵ °，

∴°，

解得 °．

∴°．

（2）證明：

（3）猜想∠BQC=90°+ ∠A．

證明如下： ∵BQ平分∠CBN，CQ平分∠BCN，

∴，

∴

．

由（2）知： ，又由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)知：∠M=∠N，

∴．

本題考查了三角形的內(nèi)角和，三角形外角的性質(zhì)，折疊的性質(zhì).（1）見(jiàn)比設(shè)參，然后根據(jù)外角的性質(zhì)求解；（2）結(jié)合角平分線(xiàn)和外角的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和（2）的結(jié)論求解.