Question

【題目】古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10…這樣的數(shù)稱(chēng)為“三角形數(shù)”，而把1，4，9，16…這樣的數(shù)稱(chēng)為“正方形數(shù)”．觀察下面的點(diǎn)陣圖和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：

（1）下圖反映了任何一個(gè)三角形數(shù)是如何得到的，認(rèn)真觀察，并在④后面的橫線上寫(xiě)出相應(yīng)的等式；

（2）通過(guò)猜想，寫(xiě)出（1）中與第八個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式　 ；

（3）從下圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和．結(jié)合（1）觀察下列點(diǎn)陣圖，并在⑤看面的橫線上寫(xiě)出相應(yīng)的等式．

（4）通過(guò)猜想，寫(xiě)出（3）中與第n個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式　 ；

（5）判斷256是不是正方形數(shù)，如果不是，說(shuō)明理由；如果是，256可以看作哪兩個(gè)相鄰的“三角形數(shù)”之和？

Answer 1

【答案】（1）1+2+3+4＝=10；（2）1+2+3+…+8＝；（3）10+15＝52；（4）＝n2；（5）是正方形數(shù)，可以看作是120、136兩個(gè)相鄰的三角形數(shù)的和.

【解析】

（1）根據(jù)計(jì)算方法寫(xiě)出即可；

（2）根據(jù)求解規(guī)律，用點(diǎn)陣的序數(shù)乘比序數(shù)大1的數(shù)，再除以2即可；

（3）根據(jù)（1）中三角形數(shù)的規(guī)律寫(xiě)出即可；

（4）用第（n1）個(gè)三角形數(shù)加上第n個(gè)三角形數(shù)，整理即可得解；

（5）根據(jù)256＝162可得是正方形數(shù)，然后再計(jì)算三角形數(shù)即可．

解：（1）④1+2+3+4＝=10；

（2）第八個(gè)點(diǎn)陣相應(yīng)的等式：1+2+3+…+8＝；

（3）⑤10+15＝52；

（4）第n個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式：＝n2；

（5）∵256＝162，

∴256是正方形數(shù)，

而1+2+3+…+16=136，1+2+3+…+15=120，

∴可以看作是120、136這兩個(gè)相鄰的三角形數(shù)的和．