Question

【題目】問題背景：如圖①，在四邊形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究線段AC、BC、CD之間的數量關系.

小吳同學探究此問題的思路是：將ΔBCD繞點D逆時針旋轉90°到ΔAED處，點B、C分別落在點A、E處（如圖②），易證點C、A、E在同一條直線上，并且ΔCDE是等腰直角三角形，所以CE＝CD，從而得出結論：AC+BC＝CD.

　 圖①　　　 　　圖②　　　　　　　 圖③ 圖④

簡單應用：

（1）在圖①中，若AC＝，BC＝2，則CD＝ .

（2）如圖③，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，弧AD＝弧BD，若AB＝13，BC＝12，求CD的長.

拓展延伸：

（3）如圖④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n（m<n），求CD的長（用含m，n的代數式表示）.

Answer 1

【答案】(1) 3； (2)CD= ； (3) CD=.

【解析】試題分析：（1）由題意可知：AC+BC=CD，所以將AC與BC的長度代入即可得出CD的長度；

（2）連接AC、BD、AD即可將問題轉化為第（1）問的問題，利用題目所給出的證明思路即可求出CD的長度；

（3）以AB為直徑作⊙O，連接OD并延長交⊙O于點D1，由（2）問題可知：AC+BC=CD1；又因為CD1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的長度.

試題解析：(1)由題意知：AC+BC=CD，∴+2=CD， ∴CD=3；

(2)如圖3，連接AC、BD、AD，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠ACB=90，

∵AD=BD，∴AD=BD，

∵AB=13，BC=12，∴由勾股定理得：AC=5，

由圖1得：AC+BC=CD，5+12=CD，∴CD= .

(3)解法一：以AB為直徑作⊙O,連接DO并延長交⊙O于點D1，

連接D1A、D1B、D1C、CD,如圖4,

由(2)得：AC+BC=D1C，∴D1C=2，

∵D1D是⊙O的直徑，∴∠D1CD=90，

∵AC=m，BC=n，∴由勾股定理可求得：AB2=m2+n2，∴D1D2=AB2=m2+n2，

∵D1C2+DC2=D1D2，∴CD2=m2+n2=,

∵m<n，∴CD=；

解法二：如圖5,∵∠ACB=∠DB=90，

∴A、B. C.D在以AB為直徑的圓上，∴∠DAC=∠DBC，

將△BCD繞點D,逆時針旋轉90到△AED處，點B，C分別落在點A，E處，

∴△BCD≌△AED，∴CD=ED，∠ADC=∠ADE，

∴∠ADC∠ADC=∠ADE∠ADC，

即∠ADB=∠CDE=90，∴△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD，

∵AC=m，BC=n=AE，∴CE=nm，∴CD=.