Question

（2011•浙江模擬）如圖，A、B、C是⊙0上的三點(diǎn)，以BC為一邊，作∠CBD=∠ABC，過(guò)BC上一點(diǎn)P，作PE∥AB交BD于點(diǎn)E．若∠AOC=60°，BE=12，則點(diǎn)P到弦AB的距離為

6

3

．

Answer 1

分析：過(guò)P作PF⊥AB于F，PG⊥BD于G．先由圓周角定理得出∠CBD=∠ABC=30°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PF=PG，由平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)得出∠PEG=60°，然后解直角△PEG，求出PG的長(zhǎng)，由此得解．

解答：解：過(guò)P作PF⊥AB于F，PG⊥BD于G．
∵∠CBD=∠ABC，PE∥AB交BD于點(diǎn)E，∠AOC=60°，BE=12，
∴∠CBD=∠ABC=30°．
∴BC為∠ABD的角平分線，PF=PG．
又∵PE∥AB，
∴∠BPE=∠ABC=∠CBD=30°，
∴∠PEG=∠BPE+∠CBD=30°+30°=60°．
∵PG⊥BD，
∴∠PGE=90°，
∴sin∠PEG=

PG

PE

=

3

2

∴PG=

3

2

×PE=

3

2

×12=6

3

，
∴PF=PG=6

3

．
故答案為6

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、角平分線的定義和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及解直角三角形等知識(shí)的綜合應(yīng)用，難度適中．