Question

【題目】如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AO上（不與A、O重合）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PB且PE交邊CD于點(diǎn)E．

（1）求證：PB＝PE；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，如圖2．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，PF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)直接寫出這個(gè)不變的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）如圖1，連接PD，可根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定可證△BCP≌△DCP，然后由全等三角形的性質(zhì)得到PD=PB，然后可根據(jù)垂直證得∠PDC＝∠PDE，從而得證；

（2）根據(jù)圖形的變化，可知結(jié)論不發(fā)生變化，然后由（1）的結(jié)論，根據(jù)勾股定理可求解.

試題解析：（1）如圖1，連接PD．∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC＝DC，∠BCA＝∠DCA，∠BCD＝90°．

又∵PC＝PC，

∴△BCP≌△DCP．

∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC．

∵PB⊥PE，

∴∠BPE＝90°．

∴在四邊形BCEP中，∠PBC＋∠PEC＝360°－∠BPE－∠BCE＝180°．

又∵∠PED＋∠PEC＝180°，

∴∠PBC＝∠PED．

∴∠PDC＝∠PDE．

∴PD＝PE．

∴PB＝PE．

（2）的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，PF＝．

（提示：連接OB，證明△PEF≌△BPO．說(shuō)明：答案寫成、等沒(méi)有化簡(jiǎn)的形式均不扣分）