Question

31、已知：一個長方體的長、寬、高分別為正整數(shù)a、b、c，且滿足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，
求：這個長方體的體積．

Answer 1

分析：我們可先將a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可變?yōu)椋╝+1）（b+1）（c+1）-1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于a、b、c均為正整數(shù)，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也為正整數(shù)，而2007只可分解為3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分別為3、3、223，所以a、b、c值為2、2、222．就可求出長方體體積abc了．

解答：解：原式可化為：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1-1=2006，
a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）-1=2006，
（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，
（1+b）（c+1+a+ac）=2007，
（1+b）（c+1）（a+1）=2007，
2007只能分解為3×3×223
∴（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分別為3、3、223
∴a、b、c也只能分別為2、2、222
∴長方體的體積abc=888．

點評：本題考查了三次的分解因式，做題當(dāng)中用加減項的方法，使式子滿足分解因式．