如圖,在梯形ABCD,AD∥BC,AC⊥BD于點(diǎn)0,AB=DC,AD=3,BC=7,則下列結(jié)論:①∠OCB=45°;②S△AOB=S△OCD=
214
;③S梯形ABCD=25;④AD和BC兩平行線間的距離為5,其中正確的有
①②③④
①②③④
.(填入序號(hào)).
分析:過點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,可得四邊形ACED是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得CE=AD,求出BE的長(zhǎng)度,再證明梯形ABCD是等腰梯形,根據(jù)等腰梯形的對(duì)角線相等以及AC⊥BD可得△BDE是等腰直角三角形,然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可判斷出①正確,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)D到BE的距離,點(diǎn)O到BC的距離,然后根據(jù)S△AOB=S△OCD=S△ABC-S△OBC,代入數(shù)據(jù)列式進(jìn)行計(jì)算即可判斷出②正確;根據(jù)梯形的面積公式代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求出③正確;D到BC的距離即為AD和BC兩平行線間的距離.
解答:解:如圖,過點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,
∵AD∥BC,
∴四邊形ACED是平行四邊形,
∴CE=AD,AC=DE,
∵AD=3,BC=7,
∴BE=BC+CE=7+3=10,
∵AC⊥BD于點(diǎn)0,
∴BD⊥DE,
又∵AD∥BC,AB=DC,
∴梯形ABCD是等腰梯形,
∴AC=BD,
∴BD=DE,
即Rt△BDE是等腰直角三角形,
∴∠OBC=∠OCB=45°,故①小題正確;
∴點(diǎn)D到BE的距離為
1
2
BE=
1
2
×10=5,
點(diǎn)O到BC的距離為
1
2
BC=
1
2
×7=
7
2
,
S△AOB=S△OCD=S△ABC-S△OBC,
=
1
2
×7×5-
1
2
×7×
7
2
=
21
4
,故②小題正確;
S梯形ABCD=
1
2
(3+7)×5=25,故③小題正確;
AD和BC兩平行線間的距離為點(diǎn)D到BC的距離,為5,故④小題正確;
綜上所述,正確的有①②③④.
故答案為:①②③④.
點(diǎn)評(píng):本題考查了等腰梯形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),作輔助線把兩對(duì)角線轉(zhuǎn)互為同一個(gè)三角形的兩邊是解題的關(guān)鍵,梯形的問題關(guān)鍵在于準(zhǔn)確作出合適的輔助線.
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11、如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,則S△AOD
=
S△BOC.(填“>”、“=”或“<”)

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求:梯形ABCD的周長(zhǎng).

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(1)求證:△ABD∽△DCB;
(2)若BD=7,AD=5,求BC的長(zhǎng).

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20、如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,并且AB=8,AD=3,CD=6,并且∠B+∠C=90°,則梯形面積S梯形ABCD=
38.4

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